Central Limit Theorem - Επισκόπηση, Ιστορικό και Παράδειγμα

Το Θεώρημα Κεντρικού Ορίου (CLT) είναι μια στατιστική έννοια που δηλώνει ότι η μέση κατανομή δείγματος μιας τυχαίας μεταβλητής θα προϋποθέτει σχεδόν κανονική ή κανονική κατανομή εάν το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο. Με απλούς όρους, το θεώρημα δηλώνει ότι η κατανομή δειγματοληψίας του μέσου μέσου μέσου είναι μια ουσιαστική έννοια στα μαθηματικά και τις στατιστικές. Γενικά, ένας μέσος όρος αναφέρεται στη μέση ή την πιο κοινή τιμή σε μια συλλογή προσεγγίσεων μιας κανονικής κατανομής καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος, ανεξάρτητα από το σχήμα της αρχικής κατανομής του πληθυσμού.

Κεντρικό διάγραμμα Θεωρήματος Ορίου (CLT) που δείχνει Σύγκλιση σε Κανονική Κατανομή

Καθώς ο χρήστης αυξάνει τον αριθμό των δειγμάτων σε 30, 40, 50, κ.λπ., το γράφημα του μέσου δείγματος θα κινηθεί προς μια κανονική κατανομή. Το μέγεθος του δείγματος πρέπει να είναι 30 ή μεγαλύτερο για να διατηρηθεί το κεντρικό θεώρημα ορίου.

Ένα από τα πιο σημαντικά συστατικά του θεωρήματος είναι ότι ο μέσος όρος του δείγματος θα είναι ο μέσος όρος ολόκληρου του πληθυσμού. Εάν υπολογίσετε τη μέση τιμή πολλαπλών δειγμάτων του πληθυσμού, προσθέστε τα και βρείτε τον μέσο όρο τους, το αποτέλεσμα θα είναι η εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού.

Το ίδιο ισχύει όταν χρησιμοποιείτε τυπική απόκλιση Τυπική απόκλιση Από στατιστική άποψη, η τυπική απόκλιση ενός συνόλου δεδομένων είναι ένα μέτρο του μεγέθους των αποκλίσεων μεταξύ των τιμών των παρατηρήσεων που περιέχονται. Εάν υπολογίσετε την τυπική απόκλιση όλων των δειγμάτων στον πληθυσμό, προσθέστε τα και βρείτε τον μέσο όρο, το αποτέλεσμα θα είναι η τυπική απόκλιση ολόκληρου του πληθυσμού.

Πώς λειτουργεί το Θεώρημα Κεντρικού Ορίου;

Το κεντρικό θεώρημα ορίου αποτελεί τη βάση της κατανομής πιθανότητας. Διευκολύνει την κατανόηση του τρόπου με τον οποίο οι εκτιμήσεις του πληθυσμού συμπεριφέρονται όταν υποβάλλονται σε επαναλαμβανόμενη δειγματοληψία Σφάλμα Τύπου II Σε δοκιμές στατιστικής υπόθεσης, ένα σφάλμα τύπου II είναι μια κατάσταση όπου μια δοκιμή υπόθεσης αποτυγχάνει να απορρίψει την μηδενική υπόθεση που είναι ψευδής. Σε άλλο . Όταν σχεδιάζεται σε γράφημα, το θεώρημα δείχνει το σχήμα της κατανομής που σχηματίζεται με τη βοήθεια επαναλαμβανόμενων δειγμάτων πληθυσμού.

Καθώς τα μεγέθη των δειγμάτων μεγαλώνουν, η κατανομή των μέσων από τα επαναλαμβανόμενα δείγματα τείνει να ομαλοποιείται και να μοιάζει με μια κανονική κατανομή. Το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο ανεξάρτητα από το αρχικό σχήμα της διανομής. Μπορεί να απεικονιστεί στο παρακάτω σχήμα:

Central Limit Theorem (CLT) - Πώς προκύπτει

Από το παραπάνω σχήμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι παρά το γεγονός ότι το αρχικό σχήμα της κατανομής ήταν ομοιόμορφο, τείνει προς μια κανονική κατανομή καθώς αυξάνεται η τιμή του n (μέγεθος δείγματος).

Εκτός από την εμφάνιση του σχήματος που θα πάρει το μέσο δείγματος, το κεντρικό θεώρημα ορίου δίνει επίσης μια επισκόπηση του μέσου και της διακύμανσης της κατανομής. Το μέσο δείγμα της κατανομής είναι ο πραγματικός μέσος πληθυσμός από τον οποίο ελήφθησαν τα δείγματα.

Η διακύμανση της κατανομής του δείγματος, από την άλλη πλευρά, είναι η διακύμανση του πληθυσμού διαιρούμενο με το n . Επομένως, όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος της κατανομής, τόσο μικρότερη είναι η διακύμανση του μέσου δείγματος.

Παράδειγμα Θεωρήματος Κεντρικού Ορίου

Ένας επενδυτής ενδιαφέρεται να εκτιμήσει την απόδοση του δείκτη χρηματιστηρίου ABC που αποτελείται από 100.000 μετοχές. Λόγω του μεγάλου μεγέθους του δείκτη Dow Jones Industrial Average (DJIA) Ο Dow Jones Industrial Average (DJIA), που συνήθως αναφέρεται επίσης ως "Dow Jones" ή απλά "the Dow", είναι ένας από τους πιο δημοφιλείς και ευρέως- αναγνωρισμένοι δείκτες χρηματιστηρίου, ο επενδυτής δεν είναι σε θέση να αναλύσει κάθε μετοχή ανεξάρτητα και αντ 'αυτού επιλέγει να χρησιμοποιήσει τυχαία δειγματοληψία για να πάρει μια εκτίμηση της συνολικής απόδοσης του δείκτη.

Ο επενδυτής επιλέγει τυχαία δείγματα των μετοχών, με κάθε δείγμα να περιλαμβάνει τουλάχιστον 30 μετοχές. Τα δείγματα πρέπει να είναι τυχαία και τυχόν προηγούμενα επιλεγμένα δείγματα πρέπει να αντικατασταθούν σε επόμενα δείγματα για να αποφευχθεί η προκατάληψη.

Εάν το πρώτο δείγμα παράγει μέση απόδοση 7,5%, το επόμενο δείγμα μπορεί να παράγει μέση απόδοση 7,8%. Με τη φύση της τυχαιοποιημένης δειγματοληψίας, κάθε δείγμα θα παράγει διαφορετικό αποτέλεσμα. Καθώς αυξάνετε το μέγεθος του δείγματος με κάθε δείγμα που επιλέγετε, τα μέσα δείγματος θα αρχίσουν να σχηματίζουν τις δικές τους διανομές.

Η κατανομή του μέσου δείγματος θα κινηθεί προς την κανονική καθώς αυξάνεται η τιμή του n. Η μέση απόδοση των αποθεμάτων στο δείκτη δείγματος υπολογίζει την απόδοση ολόκληρου του δείκτη 100.000 μετοχών και η μέση απόδοση συνήθως διανέμεται.

Ιστορία του Θεωρήματος Κεντρικού Ορίου

Η αρχική έκδοση του κεντρικού ορίου θεώρημα επινοήθηκε από τον Abraham De Moivre, έναν Γάλλο μαθηματικό. Σε ένα άρθρο που δημοσιεύθηκε το 1733, ο De Moivre χρησιμοποίησε την κανονική κατανομή για να βρει τον αριθμό των κεφαλών που προκύπτουν από πολλαπλές ρίψεις ενός νομίσματος. Η ιδέα δεν ήταν δημοφιλής εκείνη την εποχή και ξεχάστηκε γρήγορα.

Ωστόσο, το 1812, η ​​ιδέα επαναφέρθηκε από τον Pierre-Simon Laplace, έναν άλλο διάσημο Γάλλο μαθηματικό. Ο Laplace εισήγαγε ξανά την έννοια της κανονικής διανομής στο έργο του με τίτλο «Théorie Analytique des Probabilités», όπου προσπάθησε να προσεγγίσει τη διωνυμική κατανομή με την κανονική κατανομή.

Ο μαθηματικός διαπίστωσε ότι ο μέσος όρος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, όταν αυξάνεται σε αριθμό, τείνει να ακολουθεί μια κανονική κατανομή. Εκείνη την εποχή, τα ευρήματα του Laplace σχετικά με το κεντρικό θεώρημα ορίου προσέλκυσαν την προσοχή άλλων θεωρητικών και ακαδημαϊκών.

Αργότερα το 1901, το κεντρικό θεώρημα ορίου επεκτάθηκε από τον Aleksandr Lyapunov, Ρώσο μαθηματικό. Ο Lyapunov έκανε ένα βήμα μπροστά για να καθορίσει την έννοια σε γενικούς όρους και να αποδείξει πώς η ιδέα λειτούργησε μαθηματικά. Οι χαρακτηριστικές λειτουργίες που χρησιμοποίησε για να παρέχει το θεώρημα υιοθετήθηκαν στη σύγχρονη θεωρία πιθανότητας.

Σχετικές αναγνώσεις

Το Finance είναι ο επίσημος πάροχος του παγκόσμιου Αναλυτή Χρηματοοικονομικής Μοντελοποίησης & Αποτίμησης (FMVA) ™ FMVA® Συμμετοχή σε 350.600+ μαθητές που εργάζονται για εταιρείες όπως το πρόγραμμα πιστοποίησης Amazon, JP Morgan και Ferrari, σχεδιασμένο για να βοηθήσει οποιονδήποτε να γίνει οικονομικός αναλυτής παγκόσμιας κλάσης . Για να συνεχίσετε να μαθαίνετε και να προωθείτε την καριέρα σας, οι πρόσθετοι πόροι χρηματοδότησης παρακάτω θα είναι χρήσιμοι:

  • Θεώρημα Bayes «Θεώρημα Bayes» Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανότητας, το θεώρημα Bayes (επίσης γνωστό ως κανόνας Bayes) είναι ένας μαθηματικός τύπος που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των υπό όρους
  • Κεντρική τάση Κεντρική τάση Η κεντρική τάση είναι μια περιγραφική περίληψη ενός συνόλου δεδομένων μέσω μιας μόνο τιμής που αντικατοπτρίζει το κέντρο της διανομής δεδομένων. Μαζί με τη μεταβλητότητα
  • Νόμος των μεγάλων αριθμών Νόμος των μεγάλων αριθμών Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανότητας, ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι ένα θεώρημα που περιγράφει το αποτέλεσμα της επανάληψης του ίδιου πειράματος ένας μεγάλος αριθμός
  • Συνολικός κανόνας πιθανότητας Ο κανόνας συνολικής πιθανότητας (επίσης γνωστός ως νόμος της συνολικής πιθανότητας) είναι ένας θεμελιώδης κανόνας στις στατιστικές που σχετίζονται με υπό όρους και

Πρόσφατες δημοσιεύσεις