Binomial Distribution - Ορισμός, Κριτήρια και Παράδειγμα

Η διωνυμική κατανομή είναι μια κοινή κατανομή πιθανότητας που διαμορφώνει τον κανόνα της πιθανότητας Ολόκληρη η πιθανότητα Ο κανόνας της συνολικής πιθανότητας (επίσης γνωστός ως νόμος της ολικής πιθανότητας) είναι ένας θεμελιώδης κανόνας στις στατιστικές που σχετίζονται με την υπό όρους και οριακή απόκτηση ενός από τα δύο αποτελέσματα με δεδομένο αριθμό Παράμετροι. Συνοψίζει τον αριθμό των δοκιμών όταν κάθε δοκιμή έχει την ίδια πιθανότητα να επιτύχει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Η τιμή ενός διωνυμικού επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ανεξάρτητων δοκιμών με τις επιτυχίες.

Διωνυμική κατανομή

Για παράδειγμα, όταν πετάτε ένα νόμισμα, η πιθανότητα απόκτησης κεφαλής είναι 0,5. Εάν υπάρχουν 50 δοκιμές, η αναμενόμενη τιμή Αναμενόμενη τιμή Αναμενόμενη τιμή (επίσης γνωστή ως EV, προσδοκία, μέση ή μέση τιμή) είναι μια μακροπρόθεσμη μέση τιμή τυχαίων μεταβλητών. Η αναμενόμενη τιμή δείχνει επίσης ότι ο αριθμός των κεφαλών είναι 25 (50 x 0,5). Η διωνυμική κατανομή χρησιμοποιείται στα στατιστικά στοιχεία ως δομικό στοιχείο για διχοτομικές μεταβλητές, όπως η πιθανότητα να εμφανιστεί είτε ο υποψήφιος Α είτε ο Β στην θέση 1 στις ενδιάμεσες εξετάσεις.

Κριτήρια διωνυμικής κατανομής

Η διωνυμική κατανομή μοντελοποιεί την πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος όταν πληρούνται συγκεκριμένα κριτήρια. Η διωνυμική κατανομή περιλαμβάνει τους ακόλουθους κανόνες που πρέπει να υπάρχουν στη διαδικασία προκειμένου να χρησιμοποιηθεί ο τύπος διωνυμικής πιθανότητας:

1. Διορθώθηκαν οι δοκιμές

Η διερευνητική διαδικασία πρέπει να έχει έναν καθορισμένο αριθμό δοκιμών που δεν μπορούν να τροποποιηθούν κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Κατά τη διάρκεια της ανάλυσης, κάθε δοκιμή πρέπει να εκτελείται με ομοιόμορφο τρόπο, αν και κάθε δοκιμή μπορεί να έχει διαφορετικό αποτέλεσμα.

Στον τύπο διωνυμικής πιθανότητας, ο αριθμός των δοκιμών αντιπροσωπεύεται από το γράμμα "n". Ένα παράδειγμα μιας σταθερής δοκιμής μπορεί να είναι τα κέρματα, οι ελεύθερες βολές, οι περιστροφές των τροχών κ.λπ. Ο αριθμός των φορών που διεξάγεται κάθε δοκιμή είναι γνωστός από την αρχή. Εάν ένα κέρμα αναδιπλωθεί 10 φορές, κάθε γύρισμα του νομίσματος είναι μια δοκιμή.

2. Ανεξάρτητες δοκιμές

Η άλλη προϋπόθεση μιας διωνυμικής πιθανότητας είναι ότι οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Με απλά λόγια, το αποτέλεσμα μιας δοκιμής δεν πρέπει να επηρεάζει το αποτέλεσμα των επόμενων δοκιμών.

Κατά τη χρήση ορισμένων μεθόδων δειγματοληψίας, υπάρχει η πιθανότητα διεξαγωγής δοκιμών που δεν είναι εντελώς ανεξάρτητες μεταξύ τους και η διωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν το μέγεθος του πληθυσμού είναι μεγάλο έναντι του μεγέθους του δείγματος.

Ένα παράδειγμα ανεξάρτητων δοκιμών μπορεί να πετάει ένα κέρμα ή να ρίχνει ζάρια. Όταν πετάς ένα κέρμα, το πρώτο συμβάν είναι ανεξάρτητο από τα επόμενα γεγονότα.

3. Διορθώθηκε η πιθανότητα επιτυχίας

Σε μια διωνυμική κατανομή, η πιθανότητα επιτυχίας πρέπει να παραμείνει η ίδια για τις δοκιμές που διερευνούμε. Για παράδειγμα, όταν πετάς ένα νόμισμα, η πιθανότητα να ρίχνεις ένα κέρμα είναι ½ ή 0,5 για κάθε δοκιμή που διεξάγουμε, αφού υπάρχουν μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα.

Σε ορισμένες τεχνικές δειγματοληψίας, όπως η δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση, η πιθανότητα επιτυχίας από κάθε δοκιμή μπορεί να διαφέρει από τη μία δοκιμή στην άλλη. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 50 αγόρια σε πληθυσμό 1.000 μαθητών. Η πιθανότητα επιλογής ενός αγοριού από αυτόν τον πληθυσμό είναι 0,05.

Στην επόμενη δοκιμή, θα υπάρχουν 49 αγόρια στους 999 μαθητές. Η πιθανότητα επιλογής αγοριού στην επόμενη δοκιμή είναι 0,049. Δείχνει ότι σε επόμενες δοκιμές, η πιθανότητα από τη μία δοκιμή στην άλλη θα διαφέρει ελαφρώς από την προηγούμενη δοκιμή.

4. Δύο αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα

Στην διωνυμική πιθανότητα, υπάρχουν μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικά αποτελέσματα Αμοιβαία αποκλειστικά συμβάντα Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανότητας, δύο γεγονότα είναι αμοιβαία αποκλειστικά εάν δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Το απλούστερο παράδειγμα αμοιβαία αποκλεισμού, δηλαδή επιτυχία ή αποτυχία. Ενώ η επιτυχία είναι γενικά ένας θετικός όρος, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της δοκιμής συμφωνεί με αυτό που έχετε ορίσει ως επιτυχία, είτε πρόκειται για θετικό είτε αρνητικό αποτέλεσμα.

Για παράδειγμα, όταν μια επιχείρηση λαμβάνει ένα φορτίο Οι πωλήσεις αποστολών είναι μια εμπορική συμφωνία στην οποία ένα μέρος (ο αποστολέας) παρέχει αγαθά σε άλλο μέρος (ο παραλήπτης) για πώληση. Ωστόσο, ο παραλήπτης των λαμπτήρων με πολλές θραύσεις, η επιχείρηση μπορεί να καθορίσει την επιτυχία για τη δοκιμή να είναι κάθε λάμπα που έχει σπασμένο γυαλί. Μια αστοχία μπορεί να οριστεί ως όταν οι λαμπτήρες έχουν μηδενικά σπασμένα γυαλιά.

Στο παράδειγμά μας, οι περιπτώσεις σπασμένων λαμπτήρων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υποδηλώσουν την επιτυχία ως τρόπο απόδειξης ότι ένα μεγάλο ποσοστό των λαμπτήρων στην αποστολή έχει σπάσει. και ότι υπάρχει χαμηλή πιθανότητα να λάβετε μια παρτίδα λαμπτήρων με μηδενική θραύση.

Παράδειγμα Διωνυμικής Κατανομής

Ας υποθέσουμε ότι, σύμφωνα με τις τελευταίες αστυνομικές αναφορές, το 80% όλων των μικρών εγκλημάτων είναι άλυτα, και στην πόλη σας, διαπράττονται τουλάχιστον τρία από αυτά τα μικρά εγκλήματα. Τα τρία εγκλήματα είναι όλα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Από τα δεδομένα δεδομένα, ποια είναι η πιθανότητα να επιλυθεί ένα από τα τρία εγκλήματα;

Λύση

Το πρώτο βήμα για την εύρεση της διωνυμικής πιθανότητας είναι να επιβεβαιωθεί ότι η κατάσταση πληροί τους τέσσερις κανόνες της διωνυμικής κατανομής:

  • Αριθμός σταθερών δικών (n): 3 (Αριθμός μικρών εγκλημάτων)
  • Αριθμός αμοιβαίως αποκλειστικών αποτελεσμάτων: 2 (επιλυμένα και άλυτα)
  • Η πιθανότητα επιτυχίας (p): 0,2 (20% των περιπτώσεων επιλύονται)
  • Ανεξάρτητες δοκιμές: Ναι

Επόμενο:

Βρίσκουμε την πιθανότητα ότι ένα από τα εγκλήματα θα επιλυθεί στις τρεις ανεξάρτητες δίκες. Εμφανίζεται ως εξής:

Δοκιμή 1 = Επίλυση 1η, άλυτη 2η και άλυτη 3η

= 0,2 x 0,8 x 0,8

= 0,128

Δοκιμή 2 = Ανεπίλυτο 1ο, επιλυμένο 2ο και 3ο άλυτο

= 0,8 χ 0,2 χ 0,8

= 0,128

Δοκιμή 3 = Ανεπίλυτο 1ο, άλυτο 2ο και επίλυση 3ο

= 0,8 x 0,8 x 0,2

= 0,128

Σύνολο (για τις τρεις δοκιμές) :

= 0,128 + 0,128 + 0,128

= 0,384

Εναλλακτικά, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις πληροφορίες στον τύπο διωνυμικής πιθανότητας, ως εξής:

Διωνυμική πιθανότητα - τύπος

Που:

Στην εξίσωση, x = 1 και n = 3. Η εξίσωση δίνει πιθανότητα 0,384.

Σχετικές αναγνώσεις

Το Finance προσφέρει την πιστοποίηση Financial Modeling & Valuation Analyst (FMVA) ™ FMVA® Συμμετάσχετε 350.600+ μαθητές που εργάζονται σε εταιρείες όπως το Amazon, το JP Morgan και το πρόγραμμα πιστοποίησης Ferrari για όσους θέλουν να πάρουν την καριέρα τους στο επόμενο επίπεδο. Για να συνεχίσετε να μαθαίνετε και να προωθείτε την καριέρα σας, οι ακόλουθοι πόροι χρηματοδότησης θα είναι χρήσιμοι:

  • Βασικές Έννοιες Στατιστικής στα Χρηματοοικονομικά Επιπλέον, οι στατιστικές έννοιες μπορούν να βοηθήσουν τους επενδυτές να παρακολουθούν
  • Αθροιστική κατανομή συχνότητας Αθροιστική κατανομή συχνότητας Η αθροιστική κατανομή συχνότητας είναι μια μορφή κατανομής συχνότητας που αντιπροσωπεύει το άθροισμα μιας κλάσης και όλων των τάξεων κάτω από αυτήν. Θυμηθείτε αυτή τη συχνότητα
  • Έλεγχος υπόθεσης Έλεγχος υπόθεσης Ο έλεγχος υπόθεσης είναι μια μέθοδος στατιστικών συμπερασμάτων. Χρησιμοποιείται για να ελέγξει εάν μια δήλωση σχετικά με μια παράμετρο πληθυσμού είναι σωστή. Δοκιμή υπόθεσης
  • Ανεξάρτητα γεγονότα Ανεξάρτητα συμβάντα Στη στατιστική και τη θεωρία πιθανότητας, ανεξάρτητα γεγονότα είναι δύο γεγονότα όπου η εμφάνιση ενός συμβάντος δεν επηρεάζει την εμφάνιση άλλου γεγονότος

Πρόσφατες δημοσιεύσεις